在法律上没有父债子还这回事，你父母借的钱，只有你父母才有义务去偿还，身为子女，是没有义务帮你父母偿还他们自己的债务。这也就是所谓的人死债消。
但是在以下两种情况下，身为子女需要偿还父母的贷款。
子女签了连带还款责任书
有些借款人在贷款之前，就打算给自己留退路，万一银行贷款还不了，如何想方设法逃避债务，其中操作最多的一个方法就是将资产转移到自己子女名下。
所以银行为了防控风险，避免债务悬空，通常会要求借款人子女签订连带担保责任书，尤其是当借款人年纪比较大，或者患有疾病的情况下，子女签订连带担保责任书的就比较多。
至于当子女的是否签订了连带还款责任书，属于银行的举证责任。
假如银行拿不出借款人的子女签订的连带担保责任书，那子女是没有义务为父母的贷款承担还款责任的。
子女继承已逝父母的资产
根据《民法典》第1161条规定：
继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。超过遗产实际价值部分，继承人自愿偿还的不在此限。
继承人放弃继承的，对被继承人依法应当缴纳的税款和债务可以不负清偿责任。
假如子女继承了父母的遗产，那也同时需要对父母的债务履行清偿义务，假如债务超过了遗产的价值，那借款人也可以选择放弃。
从提问者的描述来看，借款人是没有什么遗产留下来的，所以子女是没有义务偿还银行的贷款。
既然没有义务，就不存在影响征信的情况。
个人一点看法
一笔贷款逾期十多年了都没有去催收，早就过了诉讼时效，一旦过了诉讼时效，银行就等于丧失了胜诉权。
如果期间借贷人没有重新签过还款计划，或者还一部分款，或者签收催款通知书，或者有证据的口头还款协议，那么诉讼时效已过，法院将不予支持。
银行不在诉讼时效内行使自己的权利应视为自动放弃权利。
也就是哪怕借款人还在世，银行都不可能通过司法手段收回贷款。
更何况现在借款人已经去世，而且这笔贷款过了十多年，十多年前贷款1万元，金额也算是比较高了，那个时候银行都不重视，现在却想着拿征信来恐吓借款人的子女，也真是够可笑的。
提问者不用理会便是了，没什么担心的，银行站不住脚。